OPTIMATISASI DENGAN PEMROGRAMAN MATEMATIS


                     

Pemrograman Matematis

Pemrograman matematis adalah pembuatan model matematis atas suatu permasalahan yang sedang dihadapi dan menggunakan sebuah proses atau prosedur yang dapat di program. Model matematis adalah sekumpulan persamaan atau pertidaksamaan dari satu atau beberapa fungsi matematis.
Model-model pemrograman matematis yang banyak digunakan adalah:
·         Pemrograman linier (linear programming),
·         Pemrograman bilangan bulat (integer programming),
·         Pemrograman nonlinier (non linear programming),
·         Analisis jaringan (network analysis) ,
·         Pemrograman dinamis (dynamic programming).


Prosedur umum penyelesaian pemrograman matematis diawali dengan mendefinisikan komponen persoalan berikut ini:
·      Decision Variables (variabel keputusan) adalah sebagai besaran yang akan dicari nilainya.
·      Parameters adalah ukuran-ukuran bernilai tetap dan dapat diterapkan dalam perhitungan seperti harga, biaya, benefit dan lain-ain.
·      Constraints (batasan) adalah sebagai faktor pembatas/kendala yang perlu dirumuskan secara matematis.
·      Objective Function (fungsi tujuan) adalah pernyataan kuantitatif dari kasus optimasi, sebagai contoh: memaksimumkan benefit, menentukan biaya operasi minimum.
Bentuk pemrograman matematis adalah memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang memenuhi kendala, syarat atau batasan.

Berikut ini adalah lagkah-langkah dalam pembuatan model matematis:
1.       Identifikasi Masalah
·         Masalah maksimisasi (berkaitan dengan Profit/Revenue)
·         Masalah minimisasi (berkaitan dengan dengan Cost/biaya)
1.       Penentuan Variabel Masalah
·         Variabel keputusan (Variabel yang menyebabkan tujuan maksimal atau minimal)
·         Fungsi tujuan (Objective Function) à Z   maksimal atau minimal.
·         Fungsi kendala (Constraint Function) à Identifikasi dan merumuskan fungsi kendala yang ada
Pemrograman linier adalah suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas.
Masalah keputusan yang biasa dihadapi para analis adalah alokasi optimum sumber daya yang langka. Sumber daya dapat berupa modal, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi.
Pada intinya, dari semua situasi tersebut adalah bagaimana kita mengalokasikan sumberdaya pada aktifitas.  Metode matematis dapat digunakan sebagai alat bantu pengambilan keputusan bagi seorang manajer berkaitan dengan masalah maksimisasi atau minimisasi.
Beberapa contoh permasalahan yang pengambilan keputusannya bisa menggunakan pemrograman linier adalah (Heizer, 1995):
1.       Penjadwalan bus sekolah untuk meminimalkan jarak perjalanan total dalam mengantar dan menjemput para pelajar
2.       Mengalokasikan unit-unit jaga polisi ke daerah yang memiliki tingkat kejahatan tinggi untuk memaksimalkan waktu repon
3.       Penjadwalan kasir untuk memenuhi kebutuhan harian, selagi meminimalkan total biaya tenaga kerja
4.       Memilih bauran produk pada suatu pabrik untuk memanfaatkan penggunaan mesin dan jam kerja yang tersedia sebaik mungkin, selagi memaksimalkan laba perusahaan
5.       Pemilihan bauran komposisi makanan untuk menghasilkan kombinasi makanan dengan biaya minimal
6.       Menentukan sistem distribusi yang akan meminimalkan biaya pengiriman total dari beberapa gudang ke beberapa lokasi pasar.
7.       Membuat suatu jadwal produksi yang akan memcukupi permintaan di masa mendatang akan suatu produk perusahaan dan pada saat yang bersamaan meminimalkan biaya persediaan dan biaya produksi total.
8.       Mengalokasikan ruangan untuk para penyewa yang bercampur dalam pusat perbelanjaan baru untuk memaksimalkan pendapatan perusahaan penyewaan.

Semua persoalan pemrograman linier mempunyai empat sifat umum (Heizer, 1995):
1.       Persoalan pemrograman linier bertujuan untuk memaksimalkan atau meminimalkan kuantitas (pada umumnya berupa laba atau biaya). Sifat umum ini disebut sebagai fungsi tujuan (objective function) dari suatu persoalan pemrograman linier. Tujuan utama dari perusahaan pada umumnya adalah untuk memaksimalkan keuntungan pada jangka panjang. Dalam kasus system didtribusi suatu perusahaan angkutan atau penerbangan, tujuan pada umumnya berupa meminimalkan biaya.
2.       Adanya batasan (constrains) atau kendala, yang membatasi tingkat sampai di mana sasaran dapat dicapai. Sebagai contoh, keputusan untuk memproduksi berapa banyak unit dari tiap produk dalam suatu lini produk perusahaan, dibatasi oleh tenaga kerja dan permesinan tersedia. Oleh karena itu, untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu kuantitas (fungsi tujuan) bergantung kepada sumber daya yang jumlahnya terbatas (batasan).
3.       Harus ada beberapa alternatif tindakan yang dapat diambil. Sebagai contoh, jika suatu perusahaan menghasilkan tiga produk berbeda, manajemen dapat menggunakan pemrograman linier utnuk memutuskan bagaimana cara mengalokasikan sumber dayanya yang terbatas (tenaga kerja, permesinan dan sebagainya). Jika tidak ada alternative yang dapat diambil, maka pemrograman linier tidak diperlukan.
4.       Tujuan dan batasan dalam permasalahan pemrograman linier harus dinyatakan dalam hubungan dengan pertidaksamaan atau persamaan linier.

Penyelesaian permasalahan dengan menggunakan pemrograman linier bisa dilakukan dengan:
1.       Pembuatan Model Matematis (Logika Matematis).
2.       Penyelesaian perhitungan dengan cara manual (metode grafik, metode simplex, konsep dualitas) maupun dengan komputer.
3.       Analisa hasil hitungan, sebagai salah satu alat alternatif keputusan dan pengambilan keputusan.
CONTOH 1:
Perusahaan shader electronics menghasilkan dua produk yaitu walkman dan watch tv. Proses produksi untuk masing-masing produk serupa dan keduanya memerlukan waktu tertentu untuk pengerjaan elektronis dan waktu tertentu untuk pengerjaan perakitan. Setiap walkman membutuhkan waktu selama 4 jam untuk pengerjaan elektronis dan 2 jam untuk perakitan. Setiap watch tv memerlukan waktu selama 3 jam untuk pengerjaan elektronis dan 1 jam untuk prakitan. Sepanjang periode produksi sekarang, tersedia waktu selama 240 jam waktu penyediaan elektronis dan 100 jam waktu perakitan. Setiap walkman menghasilkan laba $7 dan setiap watch tv yang diproduksi menghasilkan laba $5.
Permasalahan yang dihadapi shader adalah untuk menentukan kombinasi terbaik antara jumlah walkman dan watch tv yang dibuat untuk mencapai laba yang maksimal. Situasi bauran produk ini dapat diformulasikan sebagai masalah pemrograman linier.


Tabel 5. 11 Data Permasalahan Perusahaan Shader Electronics
Waktu yang dibutuhkan untuk memproduksi 1 unit
Departemen
Walkman
Watch tv
Jam kerja yang tersedia
Elektronis
4
3
240
Perakitan
2
1
100
Laba Per Unit
$7
$5

Pemecahan masalah dimulai dengan merangkum informasi yang diperlukan untuk memformulakan dan memecahkan masalah. Notasi sederhana yang bisa digunakan dalam batasan adalah:
X1 = jumlah walkman yang akan diproduksi
X2 = jumlah watch TV yang akan diproduksi
Sedangkan fungsi tujuan yang bisa digunakan dengan kaitannya X1 dan X2 adalah:
Memaksimalkan laba (Z) = $7X1 + $5X2
Langkah selanjutnya adalah membuat hubungan matematik untuk menentukan kedua batasan dalam masalah ini. Satu hubungan yang umum adalah bahwa jumlah sumber daya yang digunkaan harus lebih kecil daripada atau sama dengan ( ≤ ) jumlah sumber daya yang tersedia.
1.       Batasan pertama: waktu elektronik yang diperlukan ≤ waktu elektronik yang tersedia, sehingga:
4X1 + 3X2 ≤ 240
2.       Batasan kedua: waktu perakitan yang diperlukan ≤ waktu perakitan yang tersedia, sehingga:
2X1 + X2 ≤ 100
Dari masalah diatas, formulasi pemrograman linier secara lengkap dapat ditulis:
Z = $7X1 + $5X2
4X1 + 3X2 ≤ 240
2X1 + X2 ≤ 100
X1,  X2 ≥ 0
CONTOH 2:
Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak masing-masing dari tiga produk yang berbeda yang akan dihasilkan dengan tersedianya sumber daya yang terbatas agar diperoleh keuntungan maksimum.  Kebutuhan buruh dan bahan mentah dan sumbangan keuntungan masing-masing produk adalah sebagai berikut:
Tabel 5. 12 Data Permasalahan Perusahaan
Produk
Kebutuhan Sumber Daya
Keuntungan (Rp/Unit)
Buruh (jam/unit)
Bahan (kg/unit)
A
5
4
3
B
2
6
5
C
4
3
2
Tersedia 240 jam kerja dan  bahan mentah sebanyak 400 Kg. Masalahnya adalah menentukan jumlah masing-masing produk agar keuntungan maksimum. Rumusan model pemrograman linier-nya adalah:
1.       Penentuan Variabel Keputusan
Tiga variabel dalam masalah ini adalah produk A, B dan C yang harus dihasilkan. Jumlah ini dapat dilambangkan sebagai:
·                                                         X1  = jumlah produk A
·                                                         X2  = jumlah produk B
·                                                         X3  = jumlah produk C
2.       Penentuan Fungsi tujuan
Tujuan masalah kombinasi produk adalah memaksimumkan keuntungan total. Jelas bahwa keuntungan adalah jumlah keuntungan  yang diperoleh dari masing-masing produk. Keuntungan dari produk A adalah perkalian antara jumlah produk A dengan keuntungan per unit (Rp 3,-). Keuntungan produk B dan C ditentukan dengan cara serupa.
Sehingga keuntungan total Z, dapat ditulis: 
Z  = 3X1  + 5X2  + 2X3
3.       Penentuan Sistem kendala
Dalam masalah ini kendalanya adalah  jumlah buruh dan bahan mentah yang terbatas. Masing-masing produk membutuhkan baik buruh maupun bahan mentah. Produk A, buruh yang dibutuhkan untuk menghasilkan tiap unit adalah 5 jam, sehingga buruh yang dibutuhkan untuk produk A adalah 5 X1 jam. Dengan cara yang serupa produk B membutuhkan 2 X2 jam buruh, dan produk C butuh 4 X3 jam, sementara jumlah jam buruh yang tersedia adalah 240 jam. Sehingga dapat ditulis:
5X1 + 2X2 + 4X3  ≤ 240
Kendala bahan mentah dirumuskan dengan cara yang sama, yaitu untuk produk A butuh bahan mentah sebanyak 4 kg per unit, produk B membutuhkan 6 kg per unit dan produk C butuh 3 kg per unit. Karena yang tersedia adalah sebanyak 400 kg bahan mentah, maka dapat ditulis:
4X1 + 6X2 + 3X3 ≤ 400
Kita juga membatsi masing-masing variabel hanya pada nilai positif, karena tidak mungkin untuk menghasilkan jumlah produk negatif. Kendala-kendala ini dikenal dengan non negativity constraints dan secara matematis dapat ditulis: 
X1 ≥ 0,  X2 ≥ 0, X3 ≥ 0   atau   X1, X2, X3 ≥ 0
Pertanyaan yang timbul adalah mengapa kendala dituliskan dengan tanda pertidaksamaan ( ≤ ), bukannya persamaan ( = ). Persamaan secara tidak langsung mengatakan bahwa seluruh kapasitas sumber daya digunakan, sementara dalam pertidaksamaan memperbolehkan penggunaan kapasitas secara penuh maupun penggunaan sebagian kapasitas. Dalam  beberapa kasus suatu solusi dengan mengizinkan adanya kapasitas sumberdaya  yang tak terpakai akan memberikan solusi yang lebih baik, yang berarti keuntungan lebih besar, dari pada penggunaan seluruh sumber daya. Jadi, pertidaksamaan menunjukkan keluwesan.

Dari masalah diatas, formulasi pemrograman linier secara lengkap dapat ditulis:

Maksimumkan
Z   = 3X1  + 5X2  + 2X3

Dengan syarat   
5X1 + 2X2 + 4X3 ≤ 240
4X1 + 6X2 + 3X3 ≤ 400
X1, X2, X3  ≥ 0

CONTOH 3:
Perusahaan elektronik Failsafe memproduksi empat produk utama yang sangat canggih, umtuk memasok ke perusahaan penerbangan luar angkasa yang memiliki kontrak dengan NASA. Setiap produk harus dapat melalui departemen berikut sebelum dikirimkan, yaitu pemasangan kawat, pengeboran, perakitan, dan pemeriksaan. Kebutuhan proses produksi pada setiap departemen (dalam jam) dan nilai laba yang bersesuaian diringkas dalam tabel berikut:
Tabel 5. 13 Data Proses Produksi dan Laba/Unit
Produk
Departemen
Pemasangan Kawat
Pengeboran
Perakitan
Pemeriksaan
Laba/Unit
XJ201
0.5
3
2
0.5
$9
XM897
1.5
1
4
1.0
$12
TR29
1.5
2
1
0.5
$15
BR788
1.0
3
2
0.5
$11
Waktu produksi yang tersedia pada setiap departemen pada setiap bulan dan kebutuhan produksi bulanan minimal untuk memenuhi kontrak adalah sebagai berikut:
Tabel 5. 14 Data Waktu Produksi Setiap Departemen
Departemen
Kapasitas (jam)
Produk
Tingkat Produksi Minimal
Pemasangan Kawat
1.500
XJ201
150
Pengeboran
2.350
XM897
100
Perakitan
2.600
TR29
300
Pengawasan
1.200
BR788
400
Manajer produksi bertanggung jawab untuk menentukan tingkat produksi masing-masing produk untuk bulan yang akan datang.
X1 = jumlah unit XJ201 yang akan di produksi
X2 = jumlah unit XM897 yang akan di produksi
X3 = jumlah unit TR29 yang akan di produksi
X4 = jumlah unit BR788 yang akan di produksi
Memaksimalkan laba = 9X1 + 12X2 + 15X3 + 11X4
Dengan batasan:
0.5X1 + 1.5X2 + 1.5X3 + 1X4 ≤ 1.500 waktu pemasangan kawat yang tersedia
3X1 + 1X2 + 2X3 + 3X4 ≤ 2.350 waktu pengeboran yang tersedia
2X1 + 4X2 + 1X3 + 2X4 ≤ 2.600 waktu perakitan yang tersedia
0.5X1 + 1X2 + 0.5X3 + 0.5X4 ≤ 1.200 waktu pemeriksaan yang tersedia
X1 ≥ 150 unit XJ201
X2 ≥ 100 unit XM897
X3 ≥ 300 unit TR29
X4 ≥ 400 unit BR788
X1, X2, X3, X4 ≥ 0

1 komentar:

Langganan: Posting Komentar (Atom)
Copyright © 2012 Nugasoft Production.